题目内容
（2011•重庆模拟）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在BC1上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A-D1PC的体积不变； ②DP⊥BC1；③A1P∥平面ACD1； ④平面PDB1⊥ACD1；
其中正确的命题个数有（ ）
①三棱锥A-D1PC的体积不变； ②DP⊥BC1；③A1P∥平面ACD1； ④平面PDB1⊥ACD1；
其中正确的命题个数有（ ）
分析：①V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．
②，当P 与B重合时，DP与BC1；成60°角，不垂直．
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
④连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直．
①V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．②，当P 与B重合时，DP与BC1；成60°角，不垂直．
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
④连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直．
解答：
解：对于①，V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．∴三棱锥A-D1PC的体积不变； 正确；
②连接DB，DC1，可知△DBC1是正三角形，当且仅当P为BC1中点时，DP⊥BC1，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC1成60°角，不垂直．
错误
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1；．正确．
④连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1?平面PDB1 从而可以证明平面PDB1⊥ACD1；正确．
正确的命题个数有 3个．
故选C．
解：对于①，V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．∴三棱锥A-D1PC的体积不变； 正确；②连接DB，DC1，可知△DBC1是正三角形，当且仅当P为BC1中点时，DP⊥BC1，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC1成60°角，不垂直．
错误
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1；．正确．
④连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1?平面PDB1 从而可以证明平面PDB1⊥ACD1；正确．
正确的命题个数有 3个．
故选C．
点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，及特殊和一般的思想方法．
练习册系列答案
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