Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）当函数f（x）在(

1

2

，2)单调时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数f（x）在[

1

2

，2]上的单调性，从而可f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）函数f（x）在(

1

2

，2)单调，等价于f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，或f'（x）≥0在在(

1

2

，2)恒成立，利用分离参数法，求出函数的最值即可．

解答：解：（1）a=3时，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
∵当x∈(

1

2

，1)时，f′（x）＞0，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间(

1

2

，2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，…（5分）
（2）f′(x)=-2x+a-

1

x

，令g(x)=2x+

1

x

，则g′(x)=2-

1

x2

，
则函数g（x）在(

1

2

，

2

2

)递减，在(

2

2

，2)递增，
由g(

1

2

)=3，g(2)=

9

2

，g(

2

2

)=2

2

，故函数g（x）在(

1

2

，2)的值域为[2

2

，

9

2

)．
若f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，即a≤2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，只要a≤2

2

，
若要f'（x）≥0在在(

1

2

，2)恒成立，即a≥2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，
只要a≥

9

2

．
即a的取值范围是(-∞，2

2

]∪[

9

4

，+∞)．…（12分）

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．