Question

（本小题满分12分）已知函数，，
（1）      判断函数的奇偶性，并证明；
（2） 判断的单调性,并说明理由。（不需要严格的定义证明,只要说出理由即可）
（3） 若，方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为1的区间，使；如果没有，请说明理由。（注：区间的长度＝）

Answer 1

（1） 为奇函数，证明：见解析；
（2）时，单调递增；，单调递减。
（3）方程有根。

试题分析：(1)根据f(-x)=-f(x)可知此函数是奇函数。
（2）      分a>1和0<a<1两种情况研究即可。a>1时，是两个增函数的和，0<a<1时，是两个减函数的和。
从而确定其单调性与底数a有关系。
(3) 当，，又,再令,
然后判断g(-1),g(0)的值，从而判断y=g(x)在(-1,0)上是否存在零点,从而达到证明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。
（1）   为奇函数……………………１分
证明：∵的定义域为R，关于原点对称  …………………2分
又 …………………………………………３分
所以可知为奇函数……………………………………………４分
（2） ∵＝
① 当时，单调递增，单调递减，
所以单调递增…………………………………………………６分
②当时，单调递减，单调递增，
所以单调递减。
综上可知时，单调递增；，单调递减。
………………………………………………８分
（3）当，，又
设…………………………………９分
∵ ………………………………………………１０分
∴ ，故存在零点
即方程有根……………………………………………１２分
点评：掌握判断函数奇偶性的方法：一要看定义域是否关于原点对称，二要看f(-x)与f(x)的关系。
要掌握函数单调性的定义，它是证明抽象函数单调性的依据。函数的零点与方程的根的关系要搞清楚，它是实现根与零点的判断转化的依据。