Question

设二次函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n）．
（1）试用n表示g（n）；
（2）设（n∈N*），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n；
（3）设，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜M（M∈Z），求M的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+x，
∴g（n）=f（n+1）-f（n）+1=2n+3；
（2）∵，
∴S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²
∴；
（3）∵=，
∴，①
②
①-②＜M
∴M_min=7．
分析：（1）根据题意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，g（n）可求；
（2），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，对n分奇、偶讨论解决即可；
（3）=，利用错位相减法可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，由T_n＜M（M∈Z），可求M的最小值．
点评：本题考查二次函数的性质与数列求和的结合，着重考查数列中分类讨论与转化的思想，注重错位相减法的考查，属于难题．