Question

如图，在直三棱柱中，面ABCD和面ABFE都为正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．求证：

(1)OM∥平面BCF；

(2)平面MDF⊥平面EFCD

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)如图，取CF的中点G，连结BG、OG． 　　∵O、G是FD、FC的中点， 　　∴四边形MOGB是平行四边形． 　　∴MO∥BG． 　　∵MO平面BCF，GB平面BCF， 　　∴MO∥平面BCF． 　　(2)由题可知，BF＝BC 　　∵FG＝CG， 　　∴BG⊥CF． 　　∵CD⊥平面BCF，∴CD⊥BG． 　　∵CD∩CF＝G，∴BG⊥平面EFCD 　　∵MO∥BG， 　　∴MO⊥平面EFCD 　　∵OM平面MDF， 　　∴平面MDF⊥平面EFCD

提示：

(1)想法在平面BCF内找一条与OM平行的直线；(2)想法证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．