题目内容

（2013•徐州一模）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且
AE
=m
AB
，
AF
=n
AC
，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则|
MN
|的最小值为
7
7
7
7
．
分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出
AB
•
AC
=-
1
2
．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到
AM
=
1
2
（
AE
+
AF
）且
AN
=
1
2
（
AB
+
AC
），进而得到
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC
．将此式平方，代入题中数据化简可得
MN
2=
1
4
（1-m）2-
1
4
（1-m）（1-n）+
1
4
（1-n）2，结合m+4n=1消去m，得
MN
2=
21
4
n2-
3
2
n+
1
4
，结合二次函数的性质可得当n=
1
7
时，
MN
2的最小值为
1
7
，所以|
MN
|的最小值为
7
7
．
解答：解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos120°=-
1
2

∵AM是△AEF的中线，
∴
AM
=
1
2
（
AE
+
AF
）=
1
2
（m
AB
+n
AC
）
同理，可得
AN
=
1
2
（
AB
+
AC
），
由此可得
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC

∴
MN
2=[
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC
]2=
1
4
（1-m）2+
1
2
（1-m）（1-n）
AB
•
AC
+
1
4
（1-n）2
=
1
4
（1-m）2-
1
4
（1-m）（1-n）+
1
4
（1-n）2，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得
MN
2=
1
4
×（4n）2-
1
4
×4n（1-n）+
1
4
（1-n）2=
21
4
n2-
3
2
n+
1
4

∵m，n∈（0，1），
∴当n=
1
7
时，
MN
2的最小值为
1
7
，此时|
MN
|的最小值为
7
7
．
故答案为：
7
7
点评：本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量
MN
模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
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25
25
人．
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若圆C：x2+y2=1在矩阵A=
a，0
0，b
（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：
x2
4
+
y2
3
=1，求矩阵A的逆矩阵A-1．

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