Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为，求证：；
（2）设直线FA，FB的斜率分别为k_FA，k_FB，探究k_FA与k_FB的关系并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知直线l的方程为，由，得，由此能够证明．
（2）设直线l的方程为：y=k（x+），k≠0，由，得ky²-2px+kp²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=p²，，，由此能够推导出k_FA与k_FB互为相反数．
解答：解：（1）∵，
∴直线l的方程为，
由，
消去x，得，
解得，B（），
而F（），
故，
，
∴，
（2）∵过Q点的直线l交抛物线于A、B两点，
∴直线l的方程为：y=k（x+），k≠0，
由，
消去x，得ky²-2px+kp²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=p²，
，，
∴===-k_FB．
∴k_FA与k_FB互为相反数．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．