Question

如图，已知椭圆内有一点M，过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点，若．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）若M点恰好为椭圆中心O
（i）四边形ABCD是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由．
（ii）求弦AB长的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点的坐标，利用，即可证得，从而AC⊥BD；
（2）（i）根据AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，设直线AB方程为：y=kx+m，利用圆心到直线的距离，可得；联立 ，利用OA⊥OB，可得，从而可求内切圆的方程；
（ii）求出弦AB的长=，令3m²-1=t，则，所以根据，即可求得弦AB长的最小值．
解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由知
展开整理得：x₁x₂+y₁y₂+x₃x₄+y₃y₄=x₂x₃+y₂y₃+x₁x₄+y₁y₄
即x₁（x₂-x₄）+x₃（x₄-x₂）+y₁（y₂-y₄）+y₃（y₄-y₂）=0
∴（x₁-x₃）（x₂-x₄）+（y₁-y₃）（y₂-y₄）=0
即，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m
则，即①
联立 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
∴
由（1）知OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴
∴
∴2m²-2+2m²k²-2k²-4k²m²+m²+2m²k²=0
∴②
②代入①有：
∴存在内切圆，其方程为：…．（9分）
容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立．
（ii）
∵
∴=
令3m²-1=t，则
∴
∵，∴，故t≥1，∴
当时，，此时
容易验证，当k不存在时，…．（13分）
点评：本题以椭圆方程为载体，考查向量知识的运用，考查椭圆与圆的综合，考查圆中的弦长的求解，挖掘隐含，熟练计算是关键．