Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n∈N^*)．

(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；

(2)记，若对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；

(3)设S_n为数列{b_n}的前n项和，其中b_n＝2^f(n)，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意，作图易得f(1)＝3，f(2)＝6． 　　一般地，由，，得． 　　又(n∈N*)，∴． 　　∴Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上． 　　记直线为l，l与直线x＝1和x＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2， 　　则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n． 　　∴f(n)＝3n(n∈N*)． 　　(2)由(1)，得， 　　∴． 　　∴当n≥3时，，且． 　　于是T2，T3是Tn的最大项，故m≥． 　　(3)假设存在正整数n，t使得上面的不等式成立， 　　由(Ⅰ)，有bn＝8n，∴． 　　不等式，即， 　　解得． 　　∴n＝t＝1． 　　即存在正整数n＝1，t＝1，使成立．