题目内容
已知F1、F2分别是椭圆
+
=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且
•
的取值范围是[-
，
]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(
+
)•
=0，求证：向量
与
共线．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(
| ||
|
|
| ||
|
|
| F1F2 |
| PQ |
| AB |
（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），
其中c=
，则
=(-c，0)-(x0，y0)=(-x0-c，-y0)，
=(c，0)-(x0，y0)=(c-x 0，-y0)．
从而
•
=(-x0-c，-y0)•(c-x0，-y0)=
-c2+
=
+
-c2．
由于b2≤
+
≤a2，所以 b2-c2≤
•
≤a2-c2，
即2b2-a2≤
•
≤b2．
又已知-
≤
•
≤
，
所以
?
从而椭圆的方程是
+
=1．
（Ⅱ）因为(
+
)•
=0，而
+
与∠PCQ的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由
解得
∴C(1，1)．
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中k≠0，由
消去y并整理得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而xP=
，同理xQ=
，
从而直线PQ的斜率为kPQ=
=
=
=
．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以kAB=
=
∴kPQ=kAB，
∴向量
与
共线．
其中c=
| a2-b2 |
| PF1 |
| PF2 |
从而
| PF1 |
| PF2 |
| x | 20 |
| y | 20 |
| x | 20 |
| y | 20 |
由于b2≤
| x | 20 |
| y | 20 |
| PF1 |
| PF2 |
即2b2-a2≤
| PF1 |
| PF2 |
又已知-
| 4 |
| 3 |
| PF1 |
| PF2 |
| 4 |
| 3 |
所以
|
|
从而椭圆的方程是
| x2 |
| 4 |
| 3y2 |
| 4 |
（Ⅱ）因为(
| ||
|
|
| ||
|
|
| F1F2 |
| ||
|
|
| ||
|
|
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由
|
解得
|
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中k≠0，由
|
消去y并整理得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而xP=
| 3k2-6k-1 |
| 1+3k2 |
| 3k2+6k-1 |
| 1+3k2 |
从而直线PQ的斜率为kPQ=
| yP-yQ |
| xP-xQ |
| k(xP+xQ)-2k |
| xP-xQ |
k
| ||
|
| 1 |
| 3 |
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以kAB=
| -1-0 |
| -1-2 |
| 1 |
| 3 |
∴向量
| PQ |
| AB |
练习册系列答案
红果子三级测试卷系列答案
课堂练加测系列答案
相关题目
如图，已知F1，F2分别是椭圆C：