Question

如图，PA、PB、PC两两垂直，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且CE=

1

3

BC，F是PB上的一点，且PF=

1

3

PB
（1）求证：GE||平面PAC；
（2）求证：GF⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）欲证GE||平面PAC，根据线面平行的判定定理可知只需在平面PAC中找一直线与GE平行即可，而连接 BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，连接FE，根据重心的性质可知在△BMC中GE||MC，GE?平面PAC，MC?平面PAC，满足定理所需条件；
（2）根据PA、PB、PC两两垂直，则PA⊥平面PBC，而根据重心的性质可知GF∥PA，最后根据平行线的性质可得结论．

解答：证明：（1）连接 BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，连接FE
在△PAB中，∵G是△PAB的重心，∴MG=

1

3

MB，
又CE=

1

3

CB，所以在△BMC中GE||MC，GE?平面PAC，MC?平面PAC∴GE||平面PAC
（2）在△PAB中，∵G是△PAB的重心，
∴MG=

1

3

MB，∵PF=

1

3

PB，∴GF∥PM
又PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，
则GF⊥平面PBC

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．