Question

已知函数f（x）满足．

（Ⅰ）求f（x）的解析式：

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）利用导数的运算法则可得f′（x）=f′（1）e^x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）．

令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．

（II）设g（x）=f′（x）=e^x﹣1+x，则g′（x）=e^x+1＞0，可得f′（x）在R上单调递增．进而得到f（x）的单调性．

解答：

解：（I）f′（x）=f′（1）e^x﹣1﹣f（0）+x，

令x=1得f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）=1．

∴．

令x=0，得f′（1）=e，

∴．

（II）设g（x）=f′（x）=e^x﹣1+x，

则g′（x）=e^x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．

而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．

因此f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．

点评：

熟练掌握利用导数研究函数得到单调性是解题的关键．