Question

若r为实常数，则集合{x|x=

lim

n→∞

|r|n

1+|r|n

，r∈R}（　　）

A．恰有一个元素

B．恰有两个元素

C．恰有三个元素

D．无数多个元素

Answer 1

分析：分|r|＞1，|r|=1，0＜|r|＜1和|r|=0等四种情况分别进行求解，即可求出结果．

解答：解：当|r|＞1时，{x|x=

lim

n→∞

|r|n

1+|r|n

，r∈R}={x|x=

lim

n→∞

1

1 |r|n +1

}={1}；
当|r|=1时，{x|x=

lim

n→∞

|r|n

1+|r|n

，r∈R}={x|x=

lim

n→∞

1

1 |r|n +1

}={

1

2

}；
当0＜|r|＜1时，{x|x=

lim

n→∞

|r|n

1+|r|n

，r∈R}={x|x=

lim

n→∞

1

1 |r|n +1

}={0}；
当|r|=0时，{x|x=

lim

n→∞

|r|n

1+|r|n

，r∈R}={1}．
故选C．

点评：本题考查集合中元素个数的求法，是基础题．解题时要注意极限的求法和分类讨论思想的合理运用．