Question

12．已知（x+2）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求x²+y²的取值范围．

Answer 1

分析 化椭圆的方程为参数方程，由三角函数的最值和二次函数区间的值域可得．

解答 解：化（x+2）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1为参数方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2=cosθ}\\{\frac{y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$
∴x²+y²=（-2+cosθ）²+4sin²θ=3sin²θ-4cosθ+5
=3（1-cos²θ）-4cosθ+5=-3cos²θ-4cosθ+8
=-3（cosθ+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{28}{3}$，
由cosθ∈[-1，1]和二次函数的知识可得：
当cosθ=-$\frac{2}{3}$时，上式取最大值$\frac{28}{3}$，
当cosθ=1时，上式取最小值1，
∴x²+y²的取值范围为[1，$\frac{28}{3}$]

点评 本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的最值和二次函数区间的值域，属中档题．