题目内容

y=f（x）在R上为单调函数，求证方程f（x）=0在R上至多有一个实数根．

答案：
解析：

设方程f（x）=0至少有两个实根a ，b ，不妨设a ＜b ，则f（a ）=f（b ）=0

　　又因为f（x）在R上是单调函数，且a ＜b ，所以f（a ）＞f（b ）或者f（a ）＜f（b ）．这与f（a ）=f（b ）矛盾．所以，方程f（x）=0至多有一个实数根．


提示：

本题考查单调性概念及反证法．


练习册系列答案
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已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；    
（2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．
（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有求出最值；若没有，说出理由．
已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数
（3）若集合A={（p，q）|f（p2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（
p
q
）+
1
2
=0，p，q∈R+}，问是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．
函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（-m+9），则实数m的取值范围是（　　）
A、（-∞，-3）B、（0，+∞）C、（3，+∞）D、（-∞，-3）∪（3，+∞）
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；    
（2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．
（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有求出最值；若没有，说出理由．

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