题目内容

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求式子（1-a）a的最大值；
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于 $数学公式$

解：（1）∵a∈（0，1）
根据基本不等式∴ $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时“=”成立）
∴a（1-a）的最大值是 $\text{[math]}$ ．
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
三式同向相乘得 $\text{[math]}$ ①
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
同理 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．
即得证．
分析：对于（1）求式子（1-a）a的最大值．考虑到和为定值1，故可以用直接用基本不等式求解，且等号成立时候取最大值．
对于（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于 $\text{[math]}$ 可用反证法假设可以同时大于 $\text{[math]}$ ，让三个等式左边右边分别相乘得到 $\text{[math]}$ ，根据（1）中的结论可以判断错误，故假设不成立，即得证．
点评：此题主要考查不等式的证明问题，题中涉及到基本不等式的应用以及反证法证明不等式，题目计算量小但有一定的技巧性，而且反证思想在证明题中非常重要，同学们需要注意．