题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=2．（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积
（3）在线段PC上是否存在点M，使PA∥平面MQB；若存在，求出PM：PC的值．
分析：（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定定理证明PQ为此四棱锥的高即可；
（3）利用线面平行的判定定理即可找出和证明．
（2）利用线面垂直的判定定理证明PQ为此四棱锥的高即可；
（3）利用线面平行的判定定理即可找出和证明．
解答：
解：（1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，PQ是四棱P-ABCD的高，
∵PQ=
，S菱形ABCD=22×sin60°=2
，
∴V四棱锥P-ABCD=
×2
×
=2．
（3）存在，当
=
时，PA∥平面MQB．
由AQ∥BC可得：
=
=
，
∵
=
，∴PA∥MN，
又PA?平面MQB，MN?平面MQB．
∴PA∥平面MQB．
解：（1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，PQ是四棱P-ABCD的高，
∵PQ=
| 3 |
| 3 |
∴V四棱锥P-ABCD=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（3）存在，当
| PM |
| PC |
| 1 |
| 3 |
由AQ∥BC可得：
| AN |
| NC |
| AQ |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∵
| PM |
| MC |
| 1 |
| 2 |
又PA?平面MQB，MN?平面MQB．
∴PA∥平面MQB．
点评：熟练掌握线面平行和垂直的判定定理及性质定理是解题的关键．
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