Question

13．已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1，q≠0）的等比数列．若a₁=（d-2）²，a₃=d²，b₁=（q-2）²，b₃=q²．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

分析 （1）利用a₃-a₁=2d，计算可知d=2，进而可知a_n=2（n-1）；利用$\frac{b_3}{b_1}={q^2}$，计算可知q=3，进而可知${b_n}={3^{n-1}}$；
（2）通过$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$与$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}={a_n}$作差可知${c_n}=2n{b_n}=2n•{3^{n-1}}$（c₁=b₁a₂=2适合），问题转化为求T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₃-a₁=2d，
∴d²-（d-2）²=2d，解得 d=2．
∴a₁=0，∴a_n=2（n-1）．
∵$\frac{b_3}{b_1}={q^2}$，∴${q^2}=\frac{q^2}{{{{（q-2）}^2}}}$．
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=1，∴${b_n}={3^{n-1}}$．
（2）由题设知 $\frac{c_1}{b_1}={a_2}$，∴c₁=a₂b₁=2．
当n≥2时，$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$，
$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}={a_n}$，
 两式相减，得$\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$．
∴${c_n}=2n{b_n}=2n•{3^{n-1}}$（c₁=b₁a₂=2适合）．
设T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，
∴T=2+6•3²+10•3⁴+…+（4n-2）•3^2n-2，
3²T=2•3²+6•3⁴+10•3⁶+…+（4n-6）•3^2n-2+（4n-2）•3²ⁿ，
两式相减，得-8T=2+4•3²+4•3⁴+…+4•3^2n-2-（4n-2）•3²ⁿ
=$2+4•\frac{{9（{9^{n-1}}-1）}}{9-1}-（4n-2）•{9^n}$
=$2+\frac{1}{2}•{9^n}-\frac{9}{2}-（4n-2）•{9^n}$
=$-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}•{9^n}-4n•{9^n}$．
∴$T=\frac{5}{16}+（\frac{n}{2}-\frac{5}{16}）•{9^n}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．