Question

17．已知f（x）=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）有两个相邻的零点：-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求cos6α的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出f（x）的周期T，得出ω的值再求出φ的值即可；
（2）根据三角函数恒等变换公式，利用二倍角的关系，即可求出cos6α的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）有两个相邻的零点是-$\frac{π}{6}$和$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$-（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{3}$，
∴T=$\frac{4π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$；
解得ω=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$×（-$\frac{π}{6}$）+φ=kπ，k∈Z；
∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$）；
（2）∵f（α）=2sin（$\frac{3}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（$\frac{3}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cos2（$\frac{3}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=1-2sin²（$\frac{3}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=1-2×${（\frac{\sqrt{2}}{3}）}^{2}$=$\frac{5}{9}$；
∴sin3α=-$\frac{5}{9}$，
∴cos6α=1-2sin²3α=1-2×${（-\frac{5}{9}）}^{2}$=$\frac{31}{81}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．