Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令只需在使即可，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定的范围即可．

解：（1）由题意可知， ，

当时，，此时在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，时，单调递减，

时单调递增；

当时，时，单调递减，

时单调递增．

（2）由，

可得，，

令，

只需在使即可，

，

①当时，，当时，，当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

只需，

解得，所以；

②当时，在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

则，解得，

③当时，，在上是增函数，

而成立，

④当时，在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

则，解得．

综上，的取值范围为.