Question

设S_n，T_n分别是数列{a_n}，{b_n}的前n项的和，且满足a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2（n∈N^*）
（1）求b_n；（2）是否存在实数λ，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列？

Answer 1

分析：（1）通过a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2，推出{b_n}是等比数列，然后求b_n；
（2）求出T_n，S_n，R然后化简

Sn+λTn

n

，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列，就是表达式为n的一次函数即可．

解答：解：（1）由题a₁=2，2a_n+1=a_n+n，a_n=b_n+n-2，知bn+1=

1

2

bn⇒bn=3(

1

2

)n-1
（2）存在λ=-1时，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列，证明如下：
由（1）可知Tn=6[1-(

1

2

)n]，
由an=bn+n-2⇒Sn=Tn+

n(n-3)

2

，
得

Sn+λTn

n

=

n-3

2

+

6(1+λ)[1-( 1 2 )n]

n

，
使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列，上式是n的一次函数，
所以当λ=-1时符合题意，
故λ=-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，前n项和的求法，等差数列的判断，考查逻辑推理能力，计算能力．