题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的一个顶点为（0， $数学公式$ ），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e= $数学公式$ ，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证： $数学公式$ 为定值．

解：（1）椭圆的顶点为（0， $\text{[math]}$ ），即b= $\text{[math]}$ ，
e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 …（4分）
（2）斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =4．
若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 消去y，并整理得x²= $\text{[math]}$ ，
|AB|= $\text{[math]}$ |x₃-x₄|=4 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =4为定值．
分析：（1）由椭圆的顶点为（0， $\text{[math]}$ ）和e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，能求出椭圆的标准方程．
（2）分情况讨论：斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =4．若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），|MN|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ．|AB|= $\text{[math]}$ |x₃-x₄|，由此能证明 $\text{[math]}$ =4为定值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．