Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），若对于x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a的取值范围（　　）

A．a＞-3

B．a≥-3

C．a＞1

D．a≥1

Answer 1

分析：由题意可得 a＞-x²-x=1-（x+1）² 在[1，+∞）上恒成立．利用单调性求得函数t=1-（x+1）² 
在[1，+∞）上的最大值，即可求得a的取值范围．

解答：解：由于 函数f（x）=

x2+2x+a

x

=x+2+

a

x

，对于x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
可得 a＞-x²-x=1-（x+1）² 恒成立．
由于函数t=1-（x+1）² 在[1，+∞）上是减函数，故当x=1时，函数t取得最大值为-3．
故有a＞-3，
故选A．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用函数的单调性求函数的最大值，属于中档题．