Question

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：由余弦定理算出AC长，从而得到△ABC为以BC为斜边的直角三角形，得内切圆半径r=+1．设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OEAF是正方形，所以=+，根据AB、AC的长度与AE、AF长度之间的关系可得用、的线性表示式，即可得到所求p、q的比值．
解答：解：如图，根据余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=12
∴AB²+AC²=16=BC²，得△ABC为以BC为斜边的直角三角形
由此可得△ABC的内内切圆半径r=（AB+AC-BC）=+1
设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则四边形OEAF是正方形
∵=，==，=+
∴
∵已知
∴p=，q=，可得==
故答案为：
点评：本题给出三角形，求向量线性表示式，着重考查了余弦定理、直角三角形内切圆公式和平面向量基本定理等知识，属于中档题．