Question

已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=，
(1)求证f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：(1)由f(x)+f(y)=f(x+y)可得f(x+y)-f(x)=f(y)，
在R上任取x₁＞x₂，则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁-x₂)，
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
又∵x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x₁-x₂)＜0，即f(x₁)-f(x₂)＜0，
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[ -3，3]上也是减函数，
∴f(-3)最大，f(3)最小，
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×=-2，
∴f(-3)=f(4-3)-f(4)=f(1)-f(3)-f(1)=-f(3)=2，
即f(x)在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2．