题目内容
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，
、
、
是椭圆的顶点，
是椭圆上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
，设的斜率为
，
的斜率为
，求证：
为定值.
（1）椭圆的方程为
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）先根据题中条件求出
、
、
，进而可以求出椭圆的方程；（2）先由直线的方程
与椭圆的方程联立求出点的坐标，然后由、、三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点的坐标，于是得到直线的斜率，最终证明为定值.
试题解析：（1）由直线与圆
得
，
由
，得
，所以
，
所以椭圆的方程为；
（2）因为
，不为椭圆定点，即的方程为
，①②
将①代入，解得
，
又直线的方程为
， ②
由
、、
三点共线可得
，
所以的斜率为
，则
（定值）.
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线
练习册系列答案
相关题目
.
：
的左、右焦点分别是
、
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图.若抛物线
：
与
轴的交点为
，
为抛物线
、
两点，求
面积的最大值．
以椭圆
的两个焦点为焦点,且双曲线
，
与双曲线
,且
为圆心的圆上,求实数
的取值范围.
轴上，离心率
，点
在椭圆C上.
的标准方程；
的直线
交椭圆
、
两点，且
、
成等差数列，点M（1,1），求
的最大值.
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.
与椭圆相交于不同的两点
、
，当
时，求
的取值范围.
）。
为斜率的直线分别交椭圆C于A，B，M，N，求证： 
使得
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，圆心
。
是与圆
，
两点，当圆
。
到定点
和
的距离之和为
.
的方程；
，过点
作直线
，交椭圆
的
两点，直线
的斜率分别为
，证明：
为定值.