Question

（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．

如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分别交AB,AC,A₁B,A₁C于点D,E,D₁,E₁。

（1）讨论这三条交线ED,CB, E₁ D₁的关系。

 

（2）当BC//平面DEE₁D₁时,求的值;

 

（3）当BC不平行平面DEE₁D₁时, 的值变化吗？为什么？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）互相平行或三线共点。

当BC//平面DEE₁D₁时，

平面ABC平面DEE₁D₁=ED

BC// ED,同理CB// E₁ D₁

∴ED//CB// E₁ D₁

当BC不平行平面DEE₁D₁时,

延长ED、CB交于点H，

∴H∈EF   ∵EF平面DEE₁D₁    ∴H∈平面DEE₁D₁ 

同理H∈平面A₁BC

∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC

即H∈E₁D₁    ∴E₁、D₁、H三点共线

∴三线共点

（2）解：∵BC//平面DEE₁D₁

且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED  

∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁  

在△ABC中，BC∥ED

∴= 同理可得=

∴==1

（3）解：

由（1）可得，延长ED、CB、E₁D₁交于点H，

过点B作BF∥AC，BG∥A₁C    

∵BF∥AC    ∴=

同理可得=

在△HCE中，BG∥CE₁       ∴=

同理可得=

∴=====1

的值不变化，仍为1

 

【解析】略