Question

如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P―ABCD的体积;

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

Answer 1

本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题的能力.

解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

图1

　作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角.

由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，

四棱锥P－ABCD的体积

V_P－ABCD=

（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）.

所以 =（2，－3，－3）， =（－4，－8，0）.

因为?=－24+24+0=0，

所以PA⊥BD.

图2

解法二：如图2，连结AO，并延长AO交BD于点F.通过计算可得

EO=3，AE=2，又由AD=4，AB=8，

得                    .

所以                  Rt△AEO∽Rt△BAD，

得                     ∠EAO=∠ABD.

所以                  ∠EAO+∠ADF=90°，

所以                  AF⊥BD.

因为AF为PA在平面ABCD内的射影，

所以                  PA⊥BD.