Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，且a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*），设b_n=3a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{b_n}中，是否存在连续三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；
（3）试证明：在数列{b_n}中，一定存在正整数k、l（1＜k＜l），使得b₁、b_k、b_l构成等差数列，并求出k、l之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由已知的数列递推式，分n为偶数和奇数利用累加法求数列的通项公式；
（2）由b_n=3a_n求出数列{b_n}的第二、第三、第四项，可得此三项构成等差数列；
（3）分k，l为奇数，偶数，一奇以偶利用等差中项的概念列式证明，并求出使得b₁、b_k、b_l构成等差数列时k、l之间的关系．

解答 （1）解：由a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
当n为奇数时，有：${a}_{3}-{a}_{1}={2}^{1}，{a}_{5}-{a}_{3}={2}^{3}，…，{a}_{n}-{a}_{n-2}={2}^{n-2}$，
累加得：${a}_{n}={a}_{1}+（2+{2}^{3}+…+{2}^{n-2}）$=$1+\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）$；
当n为偶数时，有：${a}_{4}-{a}_{2}={2}^{2}，{a}_{6}-{a}_{4}={2}^{4}，…$，${a}_{n}-{a}_{n-2}={2}^{n-2}$，
累加得：${a}_{n}={a}_{2}+（{2}^{2}+{2}^{4}+…+{2}^{n-2}）$=$1+\frac{4（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{2}^{n}-1）$．
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（{2}^{n}+1），n为奇数}\\{\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）解：由b_n=3a_n，得b₂=3a₂=3，b₃=3a₃=9，b₄=3a₄=15，
∴数列{b_n}中，存在连续三项b₂，b₃，b₄构成等差数列；
（3）证明：若存在正整数k、l（1＜k＜l），使b₁、b_k、b_l构成等差数列，
则2b_k=b₁+b_l，
若k，l均为奇数，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}+1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}+1）$，此时不存在满足条件的k，l值；
若k，l均为偶数，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}-1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}-1）$，此时不存在满足条件的k，l值；
若k为奇数，l为偶数，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}+1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}-1）$，此时只要k+1=l，就有等式成立；
若k为偶数，l为奇数，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}-1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}+1）$，此时不存在满足条件的k，l值．
综上，一定存在正整数k、l（1＜k＜l），使得b₁、b_k、b_l构成等差数列，此时k为奇数，l为偶数且k+1=l．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，着重考查了分类讨论的数学思想方法，是中高档题．