Question

【题目】如图， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的顶点， 是直线与椭圆的另一个交点， .

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知的面积为，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意知为等边三角形，从而得到的关系式，进而求得离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到的关系式，然后设出直线的方程，并代入椭圆方程得到点坐标，从而求得，再根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程；别解：设，然后利用椭圆的定义表示出的长，再利用余弦定理得到的关系式，从而根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程.

试题解析：

（1）由题意可知， 为等边三角形， ，所以.

（2）（ 方法一）， .

直线的方程可为．

将其代入椭圆方程，得

所以

由，

解得， ，

（方法二）设. 因为，所以．

由椭圆定义可知， ．

再由余弦定理可得， ．

由知， ， ，