题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$
（1）当a= $数学公式$ ，x∈（0，+∝）时，求函数f（x）的最小值
（2）若对于任意x∈[1，+∝），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

解：解：（1）当a= $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$ ．
通过讨论单调性得，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上为减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +2．
（2）函数f（x）=x+ $\text{[math]}$ +2在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．
若 $\text{[math]}$ ＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ +2．
若 $\text{[math]}$ ≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．
分析：（1）用分离常数法，把f（x）分离为 $\text{[math]}$ ，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）先用分离常数法把函数分离，再分 $\text{[math]}$ 和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．
点评：本题主要考查利考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及用函数的值域名解决不等式恒成立的条件，属于中档题．还考查分离常数法在求函数值域中的应用，分离常数法求函数值域一般适用于分式函数，且分子为二次形式，而分母为一次形式的题．