Question

设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n－1Q_nP_n，…都是正三角形，设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+a_n=n（n+1）.（13分）

Answer 1

证明：（1）当n=1时，点P₁是直线y=x与曲线y=的交点，
∴可求出P₁（，）.
∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=，命题成立.（6分）
（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a₁+a₂+…+a_k=k（k+1），则点Q_k的坐标为（k（k+1），0），
∴直线Q_kP_k+1的方程为y=[x－k（k+1）].代入y=，解得P_k+1点的坐标为
∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=（k+1）·=（k+1）.
∴a₁+a₂+…+a_k+a _k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.
∴当n=k+1时，命题成立.
由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.（13分）

略