Question

已知函数，，．

⑴求函数的单调区间；

⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实   数的取值范围；

⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．

（2）要证明存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．，要结合极值点的函数值来得到。

【解析】

试题分析：（1）因为，

①若，则，在上为增函数，          2分

②若，令，得，

当时，；当时，．

所以为单调减区间，为单调增区间．

综上可得，当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．     4分

（2）时，，

，                     5分

在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，

由得，                      6分

（ⅰ），，满足题意；                      7分

（ⅱ）时，，即；               8分

（ⅲ）时，，得，故；

综上得：在上有且只有一个极值点时，．            9分

注：本题也可分离变量求得．

（3）证明：由（1）可知：

（ⅰ）若，则，在上为单调增函数，

所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意．        10分

（ⅱ）若，在处取得极值．

若，时，由图象知不可能有两个切点．          11分

故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），

则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．

，，

设切点分别为，则，且

，，，

即， ①

， ②

，③

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，

即，                        14分

令，则，令，因为，，

故存在，使得，

即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．        16分

考点：导数的运用

点评：主要是考查了分类讨论思想求解函数单调性以及导数的几何意义的运用，属于难度题。