Question

6．已知函数y=x+$\frac{2}{x}$有如下性质：函数在区间（0，$\sqrt{2}$]上是减函数，在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函数．根据上述性质猜想函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 根据题意，得出函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
利用导数大于0或小于0证明函数y=f（x）的单调性即可．

解答 解：根据题意，得；
函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
证明如下：∵y=f（x）=x+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，
解得x=±$\sqrt{a}$；
∴当0＜x≤$\sqrt{a}$时，f′（x）≤0，f（x）是减函数；
x≥$\sqrt{a}$时，f′（x）≥0，f（x）是增函数；
综上，函数f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了判断函数的单调性问题，解题时可以利用导数来判断和证明函数的单调性问题，是基础题目．