Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其中为自然对数的底，）．
（1）求函数的解析式；
（2）设，，求证：当时，；
（3）试问：是否存在实数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）构造函数利用函数的最小值大于另一个函数的最大值来证明成立。
（3）当时，函数在区间上的最小值是3

试题分析：解：（1）当时，，
则，
又是奇函数，
所以，
因此，；                  4分
（2）证明：令，
当时，注意到，所以 5分
①   当时，注意到，有
；      6分
② 当时，
，   7分
故函数在上是增函数，从而有，
所以当时，有，                         8分
又因为是偶函数，故当时，同样有，即，
综上所述，当时，有；                         9分
（2）证法二：当时，，
求导得，令得，                         5分
于是可得当时，；时，，
所以在处取得最大值，所以．     6分
又记，当时，有，          7分
求导得，当时，，
所以在上单调递增，于是，
所以，在在上总有．               8分
注意到和的偶函数性质，
所以当时，有（）；     9分
（3）当时，，
求导得，令得，          10分
① 当时，，在区间上是增函数，故此时函数在区间上的最小值为，不满足要求；               11分
② 当，即时，，
所以在区间上是增函数，此时函数在区间的最小值为，
令，得，也不满足要求；                    12分
③ 当时，可得在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，，
令，得，满足要求．                        13分
综上可得，当时，函数在区间上的最小值是3．   14分
点评：解决的关键是根据导数的符号于函数单调性的关系来判定单调性，进而得到最值，属于基础题