Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求证：B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；
（2）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）连接B₁P，假设B₁P⊥平面ACC₁A₁，根据线面垂直的性质定理可知∠B₁A₁C₁=90°，这与△A₁B₁C₁是等边三角形矛盾，所以B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；
（2）取A₁B₁的中点D，连接C₁D、BD、BC₁，先求出AP长，连接B₁C，交BC₁于点O，过O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P，交B₁P于点E，连接C₁E，根据二面角的定义证得∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角，在三角形OEC₁中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：连接B₁P，假设B₁P⊥平面ACC₁A₁，则B₁P⊥A₁C₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，
∴AA₁⊥A₁C₁．
∴A₁C₁⊥侧面ABB₁A₁．
∴A₁C₁⊥A₁B₁，
即∠B₁A₁C₁=90°．
这与△A₁B₁C₁是等边三角形矛盾．
∴B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直．
（2）取A₁B₁的中点D，连接C₁D、BD、BC₁，
则C₁D⊥A₁B₁，又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D．∴C₁D⊥平面ABB₁A₁．
∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影．
∵BC₁⊥B₁P，∴BD⊥B₁P．∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P．
又A₁B₁=B₁B=2，∴△BB₁D≌△B₁A₁P，A₁P=B₁D=1．∴AP=1．
连接B₁C，交BC₁于点O，则BC₁⊥B₁C．
又BC₁⊥B₁P，∴BC₁⊥平面B₁CP．
过O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P，交B₁P于点E，
连接C₁E，则B₁P⊥C₁E，
∴∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角．
由于CP=B₁P=

5

，O为B₁C的中点，连接OP，
∴PO⊥B₁C，OP•OB₁=OE•B₁P．∴OE=

30

5

．
∴tan∠OEC₁=

OC1

OE

=

15

3

．
∴∠OEC₁=arctan

15

3

．
故二面角C-B₁P-C₁的大小为arctan

15

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面的位置关系，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．