Question

已知函数f（x）=mx³-x的图象上以（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（1）求m，n的值；并求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在最小整数k；使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立？若存在，请求出最小整数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=mx³-x的图象上以（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．由此条件建立两个方程求求m，n的值；
（2）是否存在最小整数k；使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立可以转化为求f（x）+1995在区间[-1，3]的最值问题．求出函数f（x）+1995在区间[-1，3]的最大值，再由此判断出参数k的最小值即可．

解答：解：由已知f′（x）=3mx²-1，则

f′(x)=3m-1=tan π 4 =1 f(1)=m-1=n

，得

m= 2 3 n=- 1 3

，
∴f′（x）=2x²-1．当f′（x）＞0，即2x²-1＞0，得当x＞

2?

2

或x＜-

2?

2

时，f（x）单调递增，故当-

2

2

＜x＜

2

2

时，f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2?

2

)，(

2?

2

，+∞)，减区间是(-

2?

2

，

2?

2

)
（2）设存在最小整数k，使得f（x）≤k-1995，在区间[-1，3]恒成立，则?x∈[-1，.3]，有

2

3

x3-x+1995≤k恒成立，
令g(x)=

2

3

x3-x+1995，只须g（x）_max≤k，
此时g′（x）=2x²-1，
由（1）知函数g（x）在区间[-1，-

2?

2

)单调递增，在(-

2?

2

，

2?

2

)单调递减．
∴当x=-

2

2

时，g（x）取得极大值；
g(-

2

2

)=

2

3

+1995，又g(-1)=

1

3

+1995，g(3)=15+1995
∴函数在[-1，3]的最大值为g（3）=2010
∴使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立最小正整数k=2010

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用导数求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．