Question

已知函数f(x)=

ax+1-2a，x＜1 x2-ax，x≥1

，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是

（2，+∞）∪（-∞，0]

．

Answer 1

分析：由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论．

解答：解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）=x² -ax 不是单调的，它的对称轴为x=

a

2

，则有

a

2

＞1，∴a＞2．
②当x≥1时，若f（x）=x² -ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时a≤2．
当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1-2a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（-∞，0]．
故答案为：（2，+∞）∪（-∞，0]．

点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．