Question

已知函数f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²+|（x-a）•f（x）|，当a=-1时，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可转化为：

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0，与x取值无关得证；
（Ⅱ）由定义域为[a+

1

2

，a+1]，得-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，再由f（x）=1+

1

a-x

求解．
（Ⅲ）解：由a=-1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）当x≥0时，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

求得最小值；当x≤0时，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

求得最小值，最后从中取最小的，作为函数的最小值．

解答：证明：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可转化为：

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
与x取值无关
∴f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）证明：
a+

1

2

≤x≤a+1时， -a-1≤-x≤-a-

1

2

-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1
f（x）值域为[-3，-2]-3≤-1+

1

a-x

≤-2
（Ⅲ）解：当a=-1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．

点评：本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题．