Question

如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n(n＞m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点．

(1)求证：AB⊥MN；

(2)求证：MN的长是定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取PB中点H，连结HN，则HN∥b． 　　又∵AB⊥b∴AB⊥HN 　　同理AB⊥MH∴AB⊥平面MNH∴AB⊥MN 　　(2)∵b⊥平面PAB，∴b⊥PB． 　　在Rt△PBQ中，BQ2＝PQ2－PB2＝n2－PB2① 　　在Rt△PBA中，PA2＝PB2－AB2＝PB2－m2② 　　①、②两式相加：PA2＋BQ2＝n2－m2 　　∵a⊥b∴∠MHN＝ 　　∴MN＝＝＝(定值)