题目内容
已知函数f（x）=x+
（1）证明：f（x）在区间（0，2）单调递减．
（2）求函数f（x）在（-∞，0）上最大值．
| 4 | x |
（1）证明：f（x）在区间（0，2）单调递减．
（2）求函数f（x）在（-∞，0）上最大值．
分析：（1）用定义证明f（x）在区间（0，2）是减函数；
（2）先判定f（x）在（-∞，-2）是增函数，在（-2，0）上是减函数，从而求出最大值．
（2）先判定f（x）在（-∞，-2）是增函数，在（-2，0）上是减函数，从而求出最大值．
解答：证明：（1）∵f（x）=x+
（且x≠0），∴任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）+（
-
）=
；
∵0＜x1＜x2＜2，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是（0，2）上的减函数；
（2）∵f（x）=x+
（且x≠0），
∴f，（x）=1-
，令f，（x）=0，则x=±2；
当x＜-2时，f，（x）＞0，f（x）是增函数；当0＞x＞-2时，f，（x）＜0，f（x）是减函数；
∴当x=-2时，f（x）在（-∞，0）上有最大值f（x）max=-2+
=-4．
| 4 |
| x |
则f（x1）-f（x2）=（x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜2，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是（0，2）上的减函数；
（2）∵f（x）=x+
| 4 |
| x |
∴f，（x）=1-
| 4 |
| x2 |
当x＜-2时，f，（x）＞0，f（x）是增函数；当0＞x＞-2时，f，（x）＜0，f（x）是减函数；
∴当x=-2时，f（x）在（-∞，0）上有最大值f（x）max=-2+
| 4 |
| -2 |
点评：本题考查了用定义或导数证明函数的单调性，以及利用单调性求函数最值的问题，是基础题．
练习册系列答案
同步奥数系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|