Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，•=（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），由|OP|=得，由，得，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由，得，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理知，由，知，，，=，O（0，0）到直线MN的距离为d=，由此能求出S_△OMN的最大值．
解答：解：（1）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|OP|=得，
由，得（-c-x，-y）•，
即，
所以c=，又因为，所以a²=3，b²=1，
椭圆C的方程为：；
（2）由得，
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组
消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，
∴，
∵，∴，，
得，于是，
∴=，
∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=，
∴
=，
当，即时等号成立，S_△OMN的最大值为．
点评：本题考查求椭圆的方程和求△OMN面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．