Question

椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据F在AP的垂直平分线上，知|PF|=|FA|．|FA|=，|PF|∈[a-c，a+c]，所以∈[a-c，a+c]，从而求出离心率的取值范围．
解答：解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，
即F点到P点与A点的距离相等，
而|FA|=，|PF|∈[a-c，a+c]
于∈[a-c，a+c]，即ac-c²≤b²≤ac+c²，
⇒，又e∈（0，1），故e∈
故答案为：
点评：本题考查了椭圆的一些基本性质，|PF|=|FA|，以及|PF|的范围是解决此题的关键．