Question

已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）讨论方程解的个数，并说明理由。

Answer 1

（1） ；（2）；（3）当时，方程无解；当时，方程有惟一解； 当时方程有两解。

（1）因为： ，又在处的切线方程为

所以   解得： 
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。
，，所以方程有惟一解。
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，
因为当时，，所以  
所以  
因为 ，所以
所以 方程在区间上有惟一解。
所以方程在区间上有惟两解。
综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。