Question

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=.已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

Answer 1

解法一:设椭圆的参数方程为

(其中a＞b＞0，0≤θ＜2π).

由e²＝＝1－()²＝,得a=2b.

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，

则d²＝x²＋(y－)²

＝a²cos²θ＋(bsinθ－)²

＝－3b²(sinθ＋)²＋4b²＋3.

如果＞1,即b＜,

那么当sinθ＝－1时,d²取得最大值()²＝(b＋)²,

由此得b=－＞,与b＜矛盾.

因此必有≤1.

此时当sinθ＝－时，d²取得最大值()²＝4b²＋3，

解得b=1,a=2.

所求椭圆的参数方程是

由sinθ＝－，cosθ＝±求得椭圆上到点P的距离等于的点是(－，－)与(，－).

解法二:设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0).

由e²＝＝1－()²＝，

解得.

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,

则d²＝x²＋(y－)²

＝a²－y²＋(y－)²

＝－3y²－3y＋4b²＋

＝－3(y＋)²＋4b²＋3,

其中－b≤y≤b.如果b＜，则当y=－b时，d²取得最大值()²＝(b＋)²，

解得b=－＞,与b＜矛盾.

故必有b≥.

当y=－时,d²取得最大值()²＝4b²＋3,

解得b=1,a=2.

所求椭圆方程为＋y²＝1.

由y=－可求得到点P的距离等于的点的坐标为(±，－).

点评:椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决.