Question

已知函数 ，．

   (Ⅰ）当  时，求函数  的最小值；

   (Ⅱ）当  时，讨论函数  的单调性；

   (Ⅲ）是否存在实数，对任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

解；（Ⅰ）显然函数的定义域为，         ....................1分

当．     ....................2分

∴ 当，．

∴在时取得最小值，其最小值为 ．  ............ 4分

（Ⅱ）∵， ....5分

∴（1）当时，若为增函数；

为减函数；为增函数．

(2)当时,时,为增函数;

（3）当时，为增函数；

为减函数；

为增函数．                       ............ 9分

（Ⅲ）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：

令，只要 在为增函数

又函数．

    考查函数   ............10分

      要使在恒成立，只要，..........12分

             故存在实数时，对任意的 ，且，有,恒成立，                               ............14分