Question

【题目】已知点在抛物线 上， 点到抛物线的焦点的距离为2，直线

与抛物线交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p>0）的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）联立，消x并化简整理得y2+8y-8b=0．依题意应有△=64+32b>0，解得b>-2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-8，y1y2=-8b，设圆心Q（x0，y0），则应有，因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，由此能够推导出圆的方程．

试题解析：

（1）抛物线 的准线为，

由抛物线定义和已知条件可知，

解得，故所求抛物线方程为.

（2）联立，消并化简整理得.

依题意应有，解得.

设，则，

设圆心，则应有.

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，

.

所以，

解得.

所以，所以圆心为.

故所求圆的方程为.