题目内容
16．已知首项大于0的等差数列{an}的公差d=2，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）运用等差数列的通项公式，解方程可得首项为1，再由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）求得bn=2nan=（2n-1）•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．
解答 解：（1）依题意，由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$，d=2，
可得$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+2）（{a}_{1}+4）}$=$\frac{2}{5}$，
解得a1=1（-5舍去），
即有an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=2nan=（2n-1）•2n，
前n项和Tn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n，
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-1）•2n+1，
两式相减可得-Tn=2+23+24+…+2n+1-（2n-1）•2n+1
=2+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2n+1，
可得Tn=6+（2n-3）•2n+1．
点评 本题考查等差数列的通项公式的运用和求法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．
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