Question

已知数列中，，且．为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和；
（3）证明对一切，有．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查数列的通项公式、递推公式、裂项相消法、数学归纳法、错位相减法等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力.第一问，用n-1代替中的n，得到一个等式，2个等式相减，得到，分n为奇数偶数进行讨论，分别求出的通项公式，由于得到的式子相同，所以的通项公式就是；第二问，要求数列的前n项和，关键是需要求出的通项公式，可以利用已知的递推公式进行推导，也可以利用数学归纳法猜想证明，得到的通项公式后，代入到中，得到的通项公式，最后用错位相减法进行求和；第三问，先用放缩法对原式进行变形，再用裂项相消法求和，最后和作比较.
试题解析：（1）由已知得，，，
由题意，即，当n为奇数时，；当n为偶数时，.
所以.4分
（2）解法一：由已知，对有，
两边同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又时也成立，故，.
所以，8分
解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用数学归纳法证明．
（3）当，有，
所以时，有

=.
当时，.故对一切，有.14分求；2.错位相减法；3.数学归纳法；4.裂项相消法.