Question

设函数，已知f（x）在x=1处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）当（其中e是自然对数的底数）时，证明：e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）证明：对任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意函数，已知f（x）在x=1处有极值，所以f^′（1）=0，进而建立a的方程，解出即可；
（2）由题意对函数求导，求出函数的单调区间及函数的单调性，即可证明；
（3）有（2）可知函数在定义域上的最大值，利用累加法即可得证．
解答：解：（1）由题意函数，已知f（x）在x=1处有极值，
所以f^′（1）=0∴1+a+2=0解得：a=-3．
（2）∵，（x＞0）
∴，
由，
，
∵∴函数f（x）的单调递增区间为（．（2，e），单调的减区间为（1，2），
∴=，又f（e）=，
f（e）-f（1）=
∴e²-3e+2
∴
即：e²-6e+4≥x²-6x+4lnx
即：e²-x²+6x-6e+4≥4lnx⇒（e-x）（e+x-6）+4≥4lnx
∴
∴e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）∵，函数f（x）的单调递减区间为（1，2），单调递增区间为（2，e），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）在x=2处取得最小值2ln2-4，
∴

∴，
∵
   
…
   
由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：
   
    =
∴．
点评：此题考查了函数极值的定义，还考查了利用导函数判断函数在定义域上的单调性及最值，还有利用累加法证明与n有关的命题．